Kostić je rođen 28. avgusta 1939. godine u Rvašima kod Cetinja.
Završio je Ekonomski fakultet u Beogradu.
Član Saveza komunista Jugosalvije postao je 1957. godine.
Bio je organizacioni sekretar fakultetskog komiteta i sekretar Univerzitetskog komiteta SKJ u Beogradu, član Centralnog komiteta SK Crne Gore od Četvrtog kongresa, član pa predsjednik CK Saveza omladine Crne Gore od 1963, član i predsjednik CK Saveza omladine Jugoslavije, član Izvršnog odbora SSRN Crne Gore, predsjednik Sekcije za društvene organizacije Republičke konferencije Crne Gore.
Bio je i savjetnik za komercijalne poslove Aluminijumskog kombinata u tadašnjem Titogradu.
Bio je predsjednik Predsjedništva Socijalističke Republike (SR) Crne Gore od 17. marta 1989. do 23. decembra 1990. i vršilac dužnosti predsjednika Predsjedništva SFRJod 6. decembra 1991. do 15. juna 1992. godine, kada je funkcija ukinuta.
Bio je i 14. generalni sekretar Pokreta nesvrstanih od 6. decembra 1991. do 15. juna 1992. godine.
Od 16. maja 1991. godine, bio je član Predsjedništva SFRJ.
Kostić je u drugom krugu predsjedničkih izbora u Crnoj Gori 1993. godine izgubio od Momira Bulatovića.
