Gojković se školovao na Muzičkoj akademiji u Beogradu od 1948. do 1953. godine. Još kao student sa 18 godina svirao je trubu u mnogim džez i diksland bendovima i sa velikim orkestrom Radio Beograda.
Poslije pet godina provedenih u Jugoslaviji odlučio je da nastavi karijeru u zapadnoj Nemačkoj.
Godine 1956. snima prvu ploču kao član grupe Frank All Stars. Sljedeće četiri godine proveo je kao prvi trubač i član Kurt Edelhagenovog orkestra.
Gojkovićeva diskografija obuhvata preko 200 albuma, od kojih je preko 30 objavio pod svojim imenom i autorstvom muzike. Među istaknutim albumima se izdvajaju: Soul Connection, Bebop Citi, Balkan Connection, Balkan Blue, In My Dreams, Samba do Mar (2003) i A Handful of Soul, Samba Tzigane i Latin Haze.
Jedna od njegovih čuvenih džez numera je i East of Montenegro.
Godine 1966. godine snimio je svoj prvi album Swinging Macedonia, sa muzikom koju je originalno komponovao inspirisan muzikom Balkana. Taj album predstavlja kamen temeljac balkanskog džeza.
Od Gojkovića su se oprostili i iz KotorArt-a.
„Napustio nas je Duško Gojković, džez trubač svjetskog renomea, veliki umjetnik i gospodin. Sjećamo se njegovog nezaboravnog nastupa u Kotoru 2013.godine. Maestro, počivajte u miru i hvala na svemu“, napisali su na Facebooku.
