Božović je karijeru počeo u Budućnosti gdje je nakon svih mladih selekcija i osvojene titule 2008. godine otišao u Mogren, a nakon toga se ponovo obreo u Budućnosti gdje je nakon osvojene jesenje titule u sezoni 2011/12 prešao u Hapoel Ber Ševu. Od inostranih klubova bio je član Domžala iz Slovenije kao i kosovske Prištine iz koje je prešao u Budućnost. U Crnoj Gori nastupao je za OFK Titograd, Lovćen, Sutjesku i Rudar.
Nakon potpisivanja jednogodišnjeg ugovora, Božović je rekao :
- Znao sam da ću se jednog dana vratiti u svoj klub. Budućnost uvijek ima najviše ciljeve i potrudiću se da zalaganjem na terenu i van njega pomognem da vratimo trofeje pod Goricom. Očekujem podršku publike na svakoj utakmici i vjerujem da ćemo se zajedno radovati na kraju prvenstva.
